Marches aléatoires réversibles en milieu aléatoire / Jean-Christophe Mourrat

Auteur: Mourrat, Jean-Christophe (1983-) - AuteurAuteur secondaire : Mathieu, Pierre (1966-) - Directeur de thèse ; Ramirez, Alejandro - Directeur de thèseCollectivité secondaire: Université de Provence - Etablissement de soutenanceType de document: ThèseLangue: français ; anglaisPays: FranceÉditeur: [S.l.] : [s.n.], 2010Description: 1 vol. (173 p.) ; 30 cm ISBN: s.n. ; br. Résumé: Nous nous intéressons à deux modèles de marches aléatoires réversibles en milieu aléatoire. Le premier est la marche aléatoire en conductances aléatoires. Nous montrons que l'environnement vu par cette marche converge vers l'équilibre à une vitesse polynomiale au sens de la variance, notre hypothèse principale étant que les conductances sont uniformément minorées. Notre méthode se base sur l'établissement d'une inégalité de Nash, suivie soit d'une comparaison avec la marche aléatoire simple, soit d'une analyse plus directe fondée sur une méthode de martingale. Pour le deuxième modèle qui nous intéresse, on attribue pour tout x de Z^d une valeur positive \tau_x. La marche construite, souvent appelée "modèle de Bouchaud", est réversible par rapport à la mesure de poids (\tau_x). Nous supposons que ces poids sont indépendants, de même loi et à queue polynomiale. Nous donnons le comportement asymptotique de la valeur propre principale du générateur de cette marche aléatoire, avec conditions aux bords de Dirichlet. La caractéristique principale du résultat est une transition de phase, qui a lieu pour un seuil dépendant de la dimension. Lorsque les (\tau_x) ne sont pas intégrables et pour d > 4, nous obtenons également la limite d'échelle, sous-diffusive, de ce modèle. La méthode consiste dans un premier temps à exprimer la marche aléatoire comme un changement de temps d'une marche aléatoire en conductances aléatoires. Il suffit alors de montrer que ce changement de temps, une fois normalisé, converge sous la loi moyennée vers un subordinateur stable. Ce résultat est obtenu en utilisant les propriétés de vitesse de convergence à l'équilibre de l'environnement vu par la particule montrées précédemment. .Bibliographie: Bibliogr. p. 169-173.Thèse: Thèse de doctorat en mathématiques, soutenue en 13 mai 2010, organisme : Université de Provence Sujets MSC: 60G50 Probability theory and stochastic processes -- Stochastic processes -- Sums of independent random variables; random walks
60K37 Probability theory and stochastic processes -- Special processes -- Processes in random environments
60J80 Probability theory and stochastic processes -- Markov processes -- Branching processes (Galton-Watson, birth-and-death, etc.)
97A70 Mathematics education - General, mathematics and education -- Theses and postdoctoral theses
En-ligne: Tel
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Salle S 04793-01 / Thèses MOU (Browse Shelf) Available

Bibliogr. p. 169-173

mathématiques 13 mai 2010 Université de Provence Thèse de doctorat

Nous nous intéressons à deux modèles de marches aléatoires réversibles en milieu aléatoire. Le premier est la marche aléatoire en conductances aléatoires. Nous montrons que l'environnement vu par cette marche converge vers l'équilibre à une vitesse polynomiale au sens de la variance, notre hypothèse principale étant que les conductances sont uniformément minorées. Notre méthode se base sur l'établissement d'une inégalité de Nash, suivie soit d'une comparaison avec la marche aléatoire simple, soit d'une analyse plus directe fondée sur une méthode de martingale. Pour le deuxième modèle qui nous intéresse, on attribue pour tout x de Z^d une valeur positive \tau_x. La marche construite, souvent appelée "modèle de Bouchaud", est réversible par rapport à la mesure de poids (\tau_x). Nous supposons que ces poids sont indépendants, de même loi et à queue polynomiale. Nous donnons le comportement asymptotique de la valeur propre principale du générateur de cette marche aléatoire, avec conditions aux bords de Dirichlet. La caractéristique principale du résultat est une transition de phase, qui a lieu pour un seuil dépendant de la dimension. Lorsque les (\tau_x) ne sont pas intégrables et pour d > 4, nous obtenons également la limite d'échelle, sous-diffusive, de ce modèle. La méthode consiste dans un premier temps à exprimer la marche aléatoire comme un changement de temps d'une marche aléatoire en conductances aléatoires. Il suffit alors de montrer que ce changement de temps, une fois normalisé, converge sous la loi moyennée vers un subordinateur stable. Ce résultat est obtenu en utilisant les propriétés de vitesse de convergence à l'équilibre de l'environnement vu par la particule montrées précédemment.

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